En base 2, tout nombre s'écrit à l'aide de deux chiffres : 0 et 1.
a) Les deux premiers chiffres.
Nous tenons donc déjà les deux premiers chiffres : 0, 1.
b) Les nombres de 2 à 3.
A partir de 2, nous faisons des paquets de 2 unités : des « deuzaines » !
Voici le nombre 3 en base 2 : 1 paquet de 2 et 1 paquet de 1.
Nous aurons encore besoin de deux conventions :
principe additif : la valeur d'un nombre est égale à la somme des symboles qui le composent (ici 1 deuzaine et 1 unité)
principe de position : la valeur d'un symbole varie en fonction de la place qu'il occupe dans l'écriture du nombre.
Ainsi en base 2, le nombre 3 s'écrit : 11 : une deuzaine et une unité.
c) Les nombres de 4 à 7.
A partir de 4, il n'est pas possible d'écrire 2 deuzaines puisque nous n'avons que le 0 et le 1 pour écrire un nombre.
A partir de 4, nous allons donc faire des paquets de 2 deuzaines : 2*2 = 4 : des « quatraines » !
Ainsi en base 2, le nombre 5 va s'écrire : 101 (une quatraine, zéro deuzaine et une unité).
d) Les nombres de 8 à 15.
A partir de 8, nous allons donc faire des paquets de 2 quatraines : 2*4 = 8 : des « huitaines » !
Le nombre 11 va donc s'écrire de la façon suivante en base 2 : 1101
(une huitaine, une quatraine, zéro deuzaine et une unité).
e) Les nombres de 16 à 31.
A partir de 16, nous allons donc faire des paquets de 2 huitaines : 2*8 = 16 : des « seizaines » !
f) Et ainsi de suite.
Vous l'avez compris, à partir de 32, il va falloir faire des paquets de 2 seizaines : des trente-deuzaines !
Nous tenons ainsi tous les nombres de 32 à 63.
g) Des puissances de deux cachées là-dessous.
Un paquet de 1 unité, c'est un paquet de 1 = 20
Un paquet d'une deuzaine, c'est un paquet de 2 = 21
Un paquet d'une quatraine, c'est un paquet de 4 = 22
Un paquet d'une huitaine, c'est un paquet de 8 = 23
Finalement, dans le système en base 2, tout nombre s'écrit avec les 2 premiers chiffres : 0, 1 et des puissances de deux :
20=1
21=2
22=4
23=8
24=16
25=32
etc ...
(2 unités = une deuzaine, 2 deuzaines = une quatraine, 2 quatraines = une huitaine … ).
Il s'agit donc de faire des paquets de tailles 1, 2, 4, 8, 16 … et il ne pourra y avoir que 0 ou 1 paquet de chaque taille.
Un dernier exemple pour finir :
Comment écrire le nombre 13 en base 2 :
9 paquets de taille 1 (20) n'est pas une écriture binaire alors essayons des paquets de taille 2 ( 21 ) :
8 paquets de taille 2, et 1 de taille 1 n'est pas une écriture binaire alors essayons des paquets de taille 4 ( 22 ) :
3 paquets de taille 4 (22), passons aux paquets de taille 8 (23) :
ainsi pour écrire 13 en binaire : 13 = 1*23 + 1*22 + 0*21 +1*20.
En effet : 8 + 4 + 0 +1 = 13.
Remarque : si les êtres humains n'avaient que 2 doigts au lieu de 10, nous compterions probablement en base 2 !
En base 2, tout nombre s'écrit à l'aide de deux chiffres : 0 et 1.
